Limites et Continuité ^ Série 1 ^

 

EXERCICE 1 : Étudier la continuité de f en 𝑥₀ dans chaque cas

1. \( f(x) = \dfrac{\sqrt{2x - 1} - 1}{x - 1} \quad ; \quad f(1) = 1 \quad ; \quad x₀ = 1 \)
2. \( f(x) = \dfrac{x + 2}{x^3 + 8} \quad ; \quad f(-2) = \dfrac{1}{12} \quad ; \quad x₀ = -2 \)
3. \( f(x) = \dfrac{(x - 2)(x^2 + 1)}{x^2 - 3x + 2} \quad ; \quad f(2) = \dfrac{1}{12} \quad ; \quad x₀ = 2 \)
4. \( f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3} \quad ; \quad f(3) = \dfrac{1}{5} \quad ; \quad x₀ = 3 \)
5. \( f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 2}}{x - 4} \quad ; \quad f(4) = \dfrac{1}{4} \quad ; \quad x₀ = 4 \)
6. \( f(x) = \dfrac{3 - \sqrt{2x + 1}}{3 - \sqrt{5 + x}} \quad ; \quad f(4) = 2 \quad ; \quad x₀ = 4 \)
7. \( f(x) = \dfrac{\sqrt{2x + 1} - 3}{\sqrt{x - 2} - \sqrt{2}} \quad ; \quad f(4) = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \quad ; \quad x₀ = 4 \)
8. \( f(x) = \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{2}{x^2 - 1} \quad ; \quad f(1) = -\dfrac{1}{2} \quad ; \quad x₀ = 1 \)
9. \( f(x) = \dfrac{\sqrt{3x - 3}}{x - 4} \quad ; \quad f(3) = \dfrac{1}{2} \quad ; \quad x₀ = 3 \)

Bonne chance !

EXERCICE 2 : Soit f une fonction numérique définie comme suit

\( f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - x}}{x - 1} \quad \text{si } x > 1 \)
\( f(x) = \dfrac{x^2 - 5}{\sqrt{x - 1}} \quad \text{si } x < 1 \)

Calculer les limites suivantes :

1. \( \lim_{x \to 1^+} f(x) \)
2. \( \lim_{x \to 1^-} f(x) \)
3. \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \)
4. \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \)
5. \( \lim_{x \to -\infty} \left(f(x) - x\right) \)
6. \( \lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x} \)

EXERCICE 3 : Étudier la continuité de f à droite en x₀ = 0

\( f(x) = \dfrac{2 \cdot \tan(x)}{\sqrt{x} - x} \)
\( f(0) = 0 \)

Bonne chance à tous !
Série préparée par : Mr ELASRI MOHCINE
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