Bac Blanc – Mathématiques : Complexes, Probabilités & Géométrie dans l’Espace 🔍📐

EXERCICE 1 : (3 points)

1. Résoudre dans ℂ l’équation suivante : \( Z^2 + Z + 1 = 0 \)   (0,5 pts)
2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \( (O, \vec{u}, \vec{v}) \), on considère les points A, B, C, D d’affixes respectives :
   \( a = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \quad ; \quad b = 2 + \sqrt{3} + i \quad ; \quad c ={\bar{b}} \quad ; \quad d = b^{12} \)
   1. Écrire \( a \) sous forme exponentielle, puis montrer que \( |b| = \sqrt{8 + 4\sqrt{3}} \)   (0,5 pts)
   2. Soit \( R \), la rotation de centre O et d’angle \( \frac{\pi}{6} \)
      - Montrer que B est l’image du point C par la rotation R.   (0,25 pts)
      - Montrer que \( \arg\left( b\right) = \dfrac{\pi}{12} \) [2π].   (0,25 pts)
   3. Soit e l’affixe du point E l’image de B par la translation \( T \) de vecteur \( \vec{v} \).
      - Montrer que \( \dfrac{d}{e - b} = i (8 + 4\sqrt{3})^6 \)   (0,5 pts)
      - En déduire que les droites (BE) et (OD) sont perpendiculaires.   (0,25 pts)
   4. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe \( Z \) qui vérifie :
      \( |\bar{Z} - 2 - \sqrt{3} - i| = 1 \)   (0,5 pts)

EXERCICE 2 :

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher :

• 6 boules portent les nombres complexes suivants : \( a = 1 + i \), \( b = \bar{a} \), \( c = -1 + i \), \( d = -a \), \( e = 1 \), \( f = -1 \)
• 4 boules portent les nombres complexes suivants : \( g = i \), \( h = -i \), \( j = \sqrt{2} \), \( l = -\sqrt{2} \)

On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne.

1. Calculer la probabilité des événements suivants :
   1. “A” : les boules tirées portent des nombres réels.
   2. “B” : les boules tirées portent des nombres complexes dont un argument θ tel que : \( -\dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2} \)
   3. “C” : parmi mes boules tirées au moins une porte un nombre complexe dont le module est égal à \( \sqrt{2} \)
2. Calculer \( P(A|B) \) : la probabilité de A sachant que l’événement B est réalisé.
3. Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.

EXERCICE 3 (3 points)

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé (O), on considère les points suivants :

• A(2, 0, -1)
• B(1, 1, 0)
• C(0, 3, 1)

Et le plan (P) tel que : \( x + z - 1 = 0 \) et la sphère (S) définie par l’équation :

\( S : x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2z + 1 = 0 \)

1. a) Calculer \( \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \), puis déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. b) En déduire l’aire du triangle ABC.
3. c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
4. 2.a) Déterminer le centre et le rayon de la sphère (S).
5. 2.b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par Ω et perpendiculaire au plan (P).
6. 2.c) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite (Δ) et le plan (P).
7. 3.a) Calculer \( d(Ω, (P)) \) : distance du centre de la sphère au plan.
8. 3.b) En déduire que le plan (P) coupe la sphère (S) suivant un cercle (τ) de rayon à déterminer.
9. 3.c) Déterminer les coordonnées du centre du cercle (τ) : l’intersection de la droite (Δ) et le plan (P).

Bonne chance à tous !
Préparé par : Mr ELASRI MOHCINE
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