Examen blanc de baccalauréat

الامتحان التجريبي للباكالوريا المسالك الدولية
النسخة 2

2025-2026 | Centre D’excellence | Elasri Mohcine

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INSTRUCTIONS GENERALES

✓ L’utilisation de la calculatrice non programmable est autorisée ;

✓ Le candidat peut traiter les exercices de l’épreuve suivant l’ordre qui lui convient

✓ L’utilisation de couleur rouge de la rédaction des solutions est à éviter

COMPOSANTES DU SUJET

L’épreuve est composée de quatre exercices et un problème indépendant entre eux et répartis suivant les domaines comme suit :

Exercice 1	Suites numériques	3 points
Exercice 2	Nombres complexes	3 points
Exercice 3	Géométrie dans l’espace	3 points
Exercice 4	Calcul de probabilités	3 points
Problème	Etude d’une fonction numérique	8 points

✓ On désigne par z̅ le conjugué du nombre complexe z et par |z| son module.

✓ ln Désigne la fonction logarithme népérien.

Soit (uₙ) la suite numérique définit par :

(∀n ∈ ℕ), uₙ₊₁ = −1 + 8/(5 − uₙ)   et   u₀ = 5/2

1) Montrer par récurrence que (∀n ∈ ℕ): 1 < uₙ ≤ 5/2

2) Montrer que : (∀n ∈ ℕ), uₙ₊₁ − uₙ = ((uₙ−1)(uₙ−3))/(5−uₙ), puis en déduire que la suite (uₙ) est convergente

3) Soit (vₙ) la suite définit par : (∀n ∈ ℕ) : vₙ = (uₙ−1)/(3−uₙ)

a) Monter que (vₙ) est une suite géométrique et de raison 1/2

b) Montrer que : (∀n ∈ ℕ), uₙ = (9+2ⁿ)/(3+2ⁿ), puis calculer la limite de (uₙ)

4) Pour tout n ∈ ℕ on pose : Sₙ = ln(v₀) + ln(v₁) + ⋯ + ln(vₙ)

a) Montrer que (∀n ∈ ℕ) : Sₙ = (n + 1) ln(3/√(2ⁿ))

b) Calculer lim Sₙ/n² quand n → +∞

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O; u⃗, v⃗), on considère les points A et B d'affixes respectives :

zA = 1 − i   et   zB = 2 + √3 + i

zc = cos(π/12) + i sin(π/12)

1) a) Ecrire zA la forme trigonométrique et vérifier que zB/zA = (1+√3)/2 + ((3+√3)/2)i

b) Montrer zB/zA = (1 + √3)e^iπ/3 et déduire la forme exponentielle de zB.

c) En déduire l’écriture algébrique de zc

d) Montrer que les points O ; B et C sont alignés

2) On note B₁ l'image du point B par la rotation R de centre O et d'angle −π/6 et C₁ l'image du point C par la rotation R

a) Déterminer b₁ l'affixe du point B₁ et en déduire la nature du triangle OBB₁

b) En déduire que le point B₁ est le symétrique du point B par rapport à l'axe (O; u⃗)

c) Montrer que |zC₁ − zB₁| = |zc − zB| et que (B₁C₁⃗, CB⃗) ≡ −5π/6 [2π]

d) Déterminer l’ensemble des points M(z) tels que |z̅ − 1 − i| = |zC₁ − zB₁|

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗, k⃗),

On considère les points A(1,0,−1), B(1,3,5), C(−7,2,2) et H(−1,4,3)

1) a) Déterminer les coordonnées du vecteur BH⃗ ∧ CH⃗ que les points B ; C et H forment un plan

b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (HBC) est x − 2y − 2z + 15 = 0

c) Montrer que H est le projeté orthogonale de A sur le plan (HBC)

2) On considère l'ensemble (S) des points M(x,y,z) de l'espace tels que x² + y² + z² − 4y − 2z + 1 = 0

a) Montrer que (S) est une sphère et préciser son centre I et son rayon R

b) Déterminer la position relative de la sphère (S) et le plan (HBC)

3) Soit J(0,0,1)

a) Montrer que la droite (AJ) est tangente à (S)

b) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de (AJ) et le plan (HBC)

Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :

✓ Quatre jetons blancs marqués 0 ;

✓ Trois jetons rouges marqués 7 ;

✓ Deux jetons blancs marqués 2 ;

✓ Un jeton rouge marqué 5

• On tire au hasard, simultanément 4 jetons du sac.

On considère les événements suivants :

A : "Les quatre jetons tirés sont identiques (Ont le même numéro et le même couleur)"

B : "Avec les jetons tirés on peut former le nombre 2000."

C : "Au moins un jeton porte un numéro différent des autres."

1) a) Calculer la probabilité de A ; B et C

b) Sachant que les jetons tirés sont blancs, calculer alors la probabilité de B

2) On établit la règle du jeu suivante :

✓ Si le joueur peut former le nombre 7000 il gagne 75 dirhams

✓ Si le joueur peut former le nombre 2000 il gagne 25 dirhams

✓ Si le joueur peut former le nombre 0000 il perd 15 dirhams

✓ Pour tous les autres tirages, il perd 5 dirhams.

Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur.

a) Montrer que p(X = 75) = 2/35

b) Etablir la loi de probabilité de X

c) Calculer l’espérance mathématique de X

A) Soit h la fonction définie sur ℝ par :

h(x) = (x − 1)e^x−1 − 2

Et (Ch) ci-contre son graphe dans un repère orthonormé

1) Justifier que l'équation h(x)=0 admet une unique solution α, appartient à l'intervalle [1,6 ; 2]

2) Déterminer graphiquement le signe de h(x) sur ]1;+∞[ en justifiant votre réponse

3) Soit g la fonction définie sur ]1;+∞[ par :

g(x)= e^x−1 − 2[1 + ln(x − 1)]

a) Montrer que pour tout réel x > 1, g′(x)= h(x)/(x−1)

b) Étudier le sens des variations de g sur ]1;+∞[

c) En déduire le signe de g sur ]1;+∞[.

B) On considère la fonction f définie sur [1;+∞[ par :

f(x)= −2(x−1)ln(x−1)+e^x−1 si x > 1 ;   f(1)=1

Et (Cf) sa courbe dans un repère orthonormé (O;i⃗;j⃗) (unité : 1 cm)

1) Montrer que la fonction f est continue à droite en 1

2) Montrer que f n’est pas dérivable à droite de 1 puis interpréter le résultat géométriquement

3) a) Calculer lim f(x) quand x → +∞ puis montrer que lim tln(t)/e^t = 0 quand t → +∞

b) Montrer que lim f(x)/x = +∞ quand x → +∞

c) En déduire la branche infinie de la courbe (Cf) au voisinage de +∞

4) a) Montrer que pour tout réel x > 1, f′(x)=g(x)

b) Dresser le tableau de variations de f sur [1;+∞[

5) Montrer que (Cf) admet un point d’inflexion unique en précisant son abscisse

6) Tracer (Cf) dans le repère orthonormé (O;i⃗;j⃗)

7) a) Montrer que f admet une fct réciproque f⁻¹, définie sur J que l’on précisera

b) Tracer (Cf⁻¹) dans le repère orthonormé (O;i⃗;j⃗)

8) a) Calculer ∫₂³ e^x−1 dx

b) Vérifier que ∀x ∈ [2,3] : (x²−2x)/(x−1)=x−1−1/(x−1) puis montrer que ∫₂³ (x²−2x)/(x−1) dx = 3/2 − ln(2)

c) Par une intégrale par partie montrer que : ∫₂³ 2(x−1)ln(x−1) dx = 4ln(2) − 3/2

d) En déduire en fonction de α l’air du domaine délimité par la courbe (C) et l’axe des abscisses et les droites d’équations x=2 et x=3